Compás de Arquímedes (trammel): trazar una elipse

Pon dos correderas en sendas ranuras que se cruzan en ángulo recto, únelas con un brazo rígido y un punto de ese brazo, elegido sobre la recta que une las dos correderas, dibujará una elipse perfecta mientras lo mueves. No una elipse aproximada ni un óvalo que se le aproxime: una elipse exacta, definida por la geometría, sin levas ni plantillas. Es uno de esos mecanismos que parecen un truco y son pura cinemática, y entenderlo te da, a la vez, un trazador de curvas, un juguete hipnótico y una lección de cómo dos movimientos rectos acoplados se convierten en uno curvo. La trampa: impreso en FDM, todo el mecanismo vive o muere por una holgura de deslizamiento que hay que clavar.

Por qué un brazo entre dos ranuras dibuja una elipse

La cinemática es más sencilla de lo que sugiere el resultado. Tienes dos guías rectas perpendiculares —llámalas el eje X y el eje Y— y dos correderas, una atrapada en cada guía, de modo que la primera solo puede moverse a lo largo de X y la segunda solo a lo largo de Y. Un brazo rígido une las dos correderas. Como ambas están obligadas a sus respectivas rectas pero el brazo entre ellas mantiene una longitud fija, al empujar una arrastras la otra: cuando una corredera se acerca al cruce, la otra se aleja, y viceversa. Dos vaivenes rectilíneos, acoplados por la rigidez del brazo.

Ahora fija un punto trazador sobre la propia recta que une las dos correderas —ahí está la condición que lo hace funcionar—, a una distancia p de la corredera que corre por X y a una distancia q de la que corre por Y. Ese punto traza una elipse cuyos semiejes son exactamente q y p, cruzados respecto a las distancias: el semieje sobre el eje X lo manda la corredera de Y y al revés. La razón es directa. La posición de cada corredera sobre su guía gobierna una de las dos coordenadas del punto, y como el ángulo del brazo barre todo el giro mientras el mecanismo se mueve, una coordenada varía como el coseno de ese ángulo y la otra, como el seno. Un punto cuyas dos coordenadas son q·cos θ y p·sen θ describe, por definición, una elipse de semiejes q y p. No hay aproximación en ningún paso: la elipse es consecuencia algebraica de la restricción geométrica, siempre que el punto esté sobre esa recta. Un punto fuera de ella también traza una elipse, pero girada, no alineada con las guías.

De ahí salen dos casos límite que conviene tener presentes. Si pones el punto trazador justo encima de una de las correderas, su distancia a esa corredera es cero, uno de los semiejes se anula y la "elipse" degenera en un segmento recto: esa corredera, claro, solo se mueve por su ranura. Y si lo pones en el punto medio del brazo, equidistante de las dos correderas, p y q son iguales y la elipse se convierte en una circunferencia de radio igual a medio brazo, es decir, la mitad de la distancia entre correderas. Ese punto medio recorriendo un círculo perfecto, generado solo por dos deslizamientos rectos, es la versión cinemática del viejo resultado de los círculos de La Hire: una recta cuyos extremos resbalan sobre dos ejes perpendiculares hace que cualquier punto suyo describa una elipse, y el centro, un círculo.

Para qué sirve realmente

Históricamente es una herramienta de dibujo: el elipsógrafo, el compás que traza elipses cuando un compás normal solo da círculos. Fijas las dos ranuras a una base, montas un lápiz en el punto del brazo a las distancias que te dan los semiejes que quieres, y al girar el brazo el lápiz recorre la elipse entera. Cambiar de elipse es mover el lápiz a otro punto del brazo o reajustar las correderas; la familia de elipses que puede trazar un mismo trammel es justo la de todos los puntos de su brazo.

Su segunda vida es como juguete cinemático. Montado con dos correderas en cruz y una manivela que hace girar el brazo, el trammel es el clásico do-nothing machine o "máquina que no hace nada": gira indefinidamente, no produce ningún trabajo útil, y es imposible dejar de mirarlo precisamente porque el ojo no termina de creerse que dos deslizamientos rectos basten para ese vaivén entrelazado. Como pieza didáctica no tiene precio: enseña sin una sola ecuación que el movimiento curvo no necesita una pieza curva, que basta con acoplar dos movimientos rectilíneos con la fase adecuada. Y como generador mecánico, te da un movimiento elíptico —o circular, en el punto medio— a partir de guías rectas, sin tallar una leva ni montar un engranaje. Sirve allí donde necesites esa trayectoria sin la complicación de un perfil mecanizado.

Holgura de deslizamiento: el único número que importa

Aquí es donde el trammel deja de ser geometría de libro y se vuelve una pieza FDM con sus achaques. Todo el mecanismo se apoya en cuatro contactos deslizantes: cada corredera contra las dos paredes de su ranura. La elipse será limpia solo si esos deslizamientos son suaves y uniformes, y eso depende por completo de la holgura lateral entre la corredera y la ranura.

El problema es que esa holgura tiene dos formas de arruinarte la pieza, una en cada extremo. Si dejas demasiado poco hueco, la corredera agarrota: recuerda que una ranura impresa nace más estrecha que su cota nominal porque el cordón del perímetro muerde hacia dentro, así que una holgura de cero en pantalla es interferencia en la pieza, y la corredera no entra, o entra para quedarse trabada. Si dejas demasiado hueco, la corredera baila dentro de la ranura, y ese juego lateral se traduce directamente en error de trazado: el punto que debería seguir la elipse tiembla, la curva sale engrosada y con traqueteo, y en el caso del punto medio el círculo deja de cerrar limpio. La holgura es, sin exagerar, el parámetro que decide si el trammel traza fino o se traba.

Como valor de arranque para un trammel print-in-place —impreso ya montado, sin ensamblar— funciona una holgura lateral del orden de 0,15 mm por lado entre corredera y pared de ranura: hueco franco para que despegue libre sin pegarse, pero sin el bamboleo que un trazador no perdona. Si lo imprimes en piezas separadas y montas a mano puedes apretar hacia los 0,10–0,15 mm por lado, porque controlas el encaje al ensamblar y no dependes de que la pieza se libere sola. Pero ningún número es transferible a ciegas: el hueco real lo da tu impresora con tu material, y la forma honesta de saberlo es medirlo una vez con un cupón, como se explica en Tolerancias para piezas que se mueven. Clava ese número antes de imprimir el mecanismo entero.

La columna es holgura efectiva, la que queda en la pieza tras el estrechamiento del perímetro. Sobre el modelo tendrás que dibujar algo más ancho para llegar a ella; cuánto más, lo dice tu cupón de tolerancias, no una tabla.

Imprímelo con el plano de movimiento tumbado

La orientación de impresión no es un detalle estético en esta pieza: decide si el rozamiento es uniforme o irregular, y si las correderas se liberan o se sueldan. Imprime la placa de las ranuras plana sobre la cama, con las ranuras corriendo en el plano XY. Así las paredes contra las que desliza cada corredera son caras verticales formadas por perímetros apilados, de fricción mucho más uniforme a lo largo de todo el recorrido.

Si en cambio orientas la pieza de manera que una corredera deslice a través de los planos de capa —subiendo o bajando respecto a la cama—, te comes el efecto escalera: la pared deja de ser lisa y se convierte en una sucesión de escalones de la altura de capa, y la corredera tiene que trepar por cada uno. La fricción se dispara y se vuelve irregular, con tirones, justo lo que arruina el trazado suave de una elipse. Es la misma lógica de Orientación de capas para el movimiento: las superficies que deslizan quieren los cordones a favor del movimiento, no atravesándolo.

Esa orientación plana resuelve las paredes laterales, pero abre un segundo frente. La corredera necesita quedar presa en la ranura sin escaparse hacia arriba, y eso pide un labio o un tetón cautivo que la retenga en Z. Con la placa tumbada, ese labio se imprime como voladizo o puente sobre el hueco de la ranura, y su holgura no es la lateral de pared: es una holgura entre capas, que sale con peor acabado y suele necesitar algo más de hueco para liberarse. Trátala aparte. Y vigila la base: en print-in-place, las primeras capas de la corredera y de la ranura están tan cerca de la cama que el pie de elefante y el sobreaplastado de la capa uno tienden a soldarlas entre sí, independientemente de la holgura lateral que hayas dibujado. Es la causa número uno de un print-in-place que no se libera. Compénsalo calibrando el pie de elefante o dejando algo más de hueco en las primeras décimas de altura.

Cómo falla y cómo se nota

Conviene saber de antemano por dónde se rompe el trazado, porque cada síntoma apunta a una causa concreta. El fallo más inmediato es la corredera que se agarrota: o por falta de holgura lateral —la ranura nació más estrecha de lo que dibujaste—, o por escalonado de capas si la imprimiste con el plano de movimiento mal orientado, o por soldadura de las primeras capas contra la cama. Se nota nada más despegar la pieza: el brazo no corre, o corre a tirones. La cura es abrir la holgura, reorientar o calibrar el pie de elefante, nunca forzar el deslizamiento, que solo acelera el desgaste.

El segundo fallo es la elipse deformada: el mecanismo se mueve, pero la curva sale ovalada de forma irregular, engrosada o con un temblor visible. Eso es juego excesivo en las correderas, ese bamboleo, amplificado en el punto trazador. La curva, en cierto sentido, te está dibujando la holgura sobrante.

Y el tercero es el de largo plazo: el desgaste de las paredes de la ranura tras muchos ciclos. El deslizamiento plástico contra plástico va puliendo y ensanchando la ranura, de modo que un trammel que empezó trazando fino acaba con holgura de más y trazo tembloroso a base de uso. No hay magia que lo evite del todo en FDM; se mitiga con paredes de ranura de varios perímetros macizos (tres o cuatro) para que tengan material que gastar, y aceptando que un trazador que vaya a girar miles de vueltas es candidato a un material más resistente al desgaste o a un par de gotas de lubricante seco.

Si te ha picado la curiosidad por estos mecanismos que convierten un giro o un vaivén en una trayectoria precisa sin levas, el siguiente paso natural es entender cómo se elige y se afina esa holgura que aquí lo decidía todo. Tolerancias para piezas que se mueven es donde ese número deja de ser una conjetura y pasa a salir de tu propia impresora.